X
تبلیغات
هرکس هندسه نمی داند وارد نشود - حل معادله درجه سوم

حل معادله درجه سوم ( از Telour.ir)

راهی جدید برای حل معادله درجه ی سوم

راه حل کاردان

حل معادله درجه ی سوم از دو جهت مورد توجه است؛ زیرا نه تنها به جهت درستی خودش جالب است بلکه این روش راه حلی است برای حل معادله ی درجه ی چهارم.

این نوشته پنج متغیر اصلی معادله درجه سوم را توصیف می کند و نشان می دهد چگونه این پنج متغیر به تبدیلات اصلی نمونه های استاندارد حل معادله ی درجه ی 3 وابسته است که عموما با نام روش کاردان (cardan's solution) شناخته می شود.

جیرو لامو کاردانو

کاردان که یکی از با استعدادترین مردان زمان خود و در چندین فن جامع بود، آثاری درباره ی حساب، نجوم، فیزیک،طب و دیگر موضوعات از خود بر جای گذاشت. بزرگترین اثر وی، آرس ماگنا، اولین رساله ی عظیم به زبان لاتین است که صرفا به جبر اختصاص دارد. در آن رساله به وجود ریشه های منفی یک معادله پی برده شده و به محاسبه با اعداد موهومی تا حدی توجه شده است. در این اثر همچنین روش خاصی برای به دست آوردن یک مقدار تقریبی برای ریشه ی معادله ای از درجه ی دلخواه وجود دارد .

راه حل معادله ی درجه ی سوم که توسط کاردان در آرس ماگنای وی داده شده، به صورت زیر می باشد:

اتحاد

را در نظر بگیرید. اگر a و b را چنان اختیار کنیم که

در این صورت x با a-b برابر است. با حل دو معادله ی اخیر به طور همزمان برحسب a و b داریم

و بدین ترتیبx معین می شود.

طبق تعريف یک نقطه روی منحنی چند جمله ای با درجه ی است که با حرکت در راستای محور و با جایگزینی مجموع ریشه های منحنی جدید مساوی صفر می شود. در معادله ی چند جمله ای:



می توان به راحتی نشان داد که



اگر یک چند جمله ای درجه 3 باشد پس به عنوان معادله ی درجه 3 تنزل یافته شناخته می شود و یک نقطه ی عطف است.

حال معادله ی عمومی درجه 3 را مشاهده کنید:





در این جا برابر و نقطه ی تقارن معادله ی درجه ی 3 می باشد.

پارامترهای به عنوان فواصل در شکل نشان داده شده است. روابط و با عبارت است از:

این نتایج به راحتی توسط تعیین مکان نقاط بازگشتی (نقطه عطف) بدست خواهند آمد. از این معادلات به راحتی می توان فهمید که شمائل کلی معادله ی درجه 3 توسط پارامتر مشخص می شود.

در این شکل یا نقاط ماکزیمم و مینیمم با هم وجود خواهند داشت، به عبارت ديگر:

یا درN منطبق هستند:

و یا نمودار دارای نقطه ی عطف نیست.

به علاوه می توان نوشت

رابطه ی یک مورد مخصوص از قضیه ی کلی زیر است :

اگر منحنی چند جمله ای از مبدا عبور کند ریشه های ایجاد شده ی آن ( به جز ) با مختصات x نقاط بازگشتی با رابطه ی زیر مرتبط است:

 

حل معادله ی درجه سوم:

علاوه بر ارزش ترسیم منحنی، پارامتر های به طور کامل روشی استاندارد را برای حل معادله ی درجه ی 3 ارائه می کنند. بر خلاف روش کاردان این پارامتر ها مشخص می کنند که روش حل به هندسه معادله ی درجه 3 بستگی دارد.

برای نمونه ی در راه حل کاردان، شکل استاندارد زیر را بکار می بریم:

و سپس با جایگزینی :

که در آن :

و

این کار این حقیقت را که نقطه ی N شکل کاهش یافته ی معادله ی درجه 3 بر روی محور y ها است، مبهم می کند.

متعاقب بسط نتایج، یک مشخصه به شکل ظاهر می شود:

مسئله ای که از لحاظ هندسی مبهم است فهماندن کمیت های G و H است. در حاليکه با به کار بردن پارامتر های توصیف شده در بخش قبل، نه تنها راه حل ساده می شود، بلکه هندسه ی آن نیز مشخص می شود.

با شکل معمولی معادله درجه ی 3 شروع می کنیم:


ريشه های این معادله شامل بوده و با جایگزینی معادله به شکل زیر در می آید:

ریشه های معادله ی جدید عبارتند از:

از طرفی می توان نوشت:

بنابراین با جای گذاری داریم:

ابتدا این معادلات را به روش معمول حل معادلات درجه 3 حل و سپس با جايگزين کردن ، نتیجه معادله ی درجه ی 2 وابسته به بدست می آید.

و به ازای می توان نوشت:

زمانی که این راه حل در شکل مشاهده می شود فورا معلوم می شود که معادله ی (1) فقط زمانی بکار می رود که یک ریشه ی حقیقی وجود داشته باشد و این یعنی:

مقایسه ی این روش با روش کاردان نتیجه می دهد:

در نتیجه مشخص می شوند:


به هر حال چون به وابسته است، با فرض می توان معادله ی (1) را به صورت زیر نوشت:

اگر مختصات نقطه ی بازگشتی، باشد پس:




که راه حل ما می تواند به صورت زیر نوشته شود:

با بکار بردن برای تشخیص معادله ی درجه ی 3 می توان نوشت:

با مشاهده ی هندسی شکل می توان فهمید که ما بقی حل به علامت بستگی دارد:

یک ریشه ی حقیقی



سه ریشه ی حقیقی (دو یا سه ریشه ی همانند)



سه ریشه ی متفاوت و مشخص حقیقی



به عبارت دیگر:




در این شرایط بطور مشخص، فقط می تواند یک ریشه ی حقیقی وجود داشته باشد. چون که این عامل مثبت است، مقدار ریشه ی به راحتی بدست می آید:


با وجود تحت این شرایط دو ریشه مساوی خواهیم داشت.





که مقدار صحیح ریشه ها عبارتند از:







به علت وجود دو ریشه ی مضاعف، علامت به علامت بستگی دارد و بنابر این:

اگر آنگاه که در این حالت سه ریشه ی مساوی در وجود خواهد داشت.

از شکل مشخص است که سه ریشه ی مجزا در این حالت وجود دارد. اگر چه راه حل ما نیازمند آن است که ریشه ی توان سوم یک عدد مختلط را بیابیم، اما این مساله با به کار بردن مثلثات آسان تر خواهد بود.

با جایگزینی خواهیم داشت:

از آن جاییکه بنابراین:

(2)

که از آن سه ریشه ی ، و بدست خواهند آمد:

همه ی این ها به همراه رابطه شان با دایره ی مثلثاتی به شعاع در شکل زیر نشان داده شده است. به خاطر داشته باشید که ماکزیمم بین ریشه های و وابسته به زاویه ی است.

از معادله ی (2) واضح است که مثلثات تنها زمانی می تواند برای حل معادله ی درجه ی 3 کاهش یافته بکار رود که:

--------------------------------------------------------------------

مثال)

معادله زیر را حل کنید.

پارامتر ها عبارتند از:


چون که

پس سه ریشه ی حقیقی متمایز وجود خواهد داشت که به شکل زیر بدست می آیند:



که


پس و سه ریشه عبارتند از:

به طور خلاصه علاقه مندیم که اصطلاح روش کاردان برای معادلات درجه ی 3و 4، که برای چند صد سال بکار برده شده، به نفع پارامتر های که فواید فراوان رابطه ی حل جبری با هندسه ی معادله ی درجه ی سوم را معلوم می کند، رها شود.

 

مراجع

1- Burnside W.S and Panton A.W. The theory of equation: with an introduction to the theory of binary algebraic forms. 2nd ed. Longmans, greens and Co., London (1889)

2- آشنایی با تاریخ ریاضیات، هاوارد دبلیو ایوز، ترجمه دکتر قاسم خانی، مرکز نشر دانشگاهی

 

+ نوشته شده توسط صائم بحرکاظمی در و ساعت |