هذلولی

تعریف

هذلولی مجموعه نقاطی از صفحه است که تفاضل فواصل هر یک از آن ها از دو نقطه ی ثابت در صفحه مقدار ثابتی باشد.

کاربرد

مسیر های هذلولوی در نظریه نسبیت اینشتین مطرح می شوند و اساس سیستم هوانوردی رادیویی لوران LORAN: Long Range Navigation - - نیز هستند. مسیر ستاره ی دنباله داری که به خورشید خودش بر نمی گردد، هذلولوی است ( احتمال اینکه سهموی باشد صفر است ).
تلسکوپ های بازتابنده نظیر تلسکوپ 200 اینچی هاله 2 ، واقع در کوه پالومار کالیفرنیا، و تلسکوپ فضایی ناسا که قرار بوده در 1988 به فضا پرتاب شود، از آینه های هذلولوی کوچک، همراه با آینه های سهموی بزرگتر استفاده می کنند.


ادامه مطلب
+ نوشته شده توسط صائم بحرکاظمی در و ساعت |


در علم ریاضی، قضیه فیثاغورس، یک رابطه در فضای اقلیدسی بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان می‌کند. اگر چه این قضیه قبل از آن که فیثاغورس آن را بیان کند توسط بابلیان و هندوها به کار برده می‌شد ولی به نام او ثبت گردید.


قضیه

 

img/daneshnameh_up/6/62/Pythagorean.png


د رمثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه A در آن قائمه است ، در صفحه رابطه‌ی زیر همیشه بین اضلاع برقرار است:


می‌توان این قضیه را به صورت ساده‌تر بیان کرد : فرض کنید سه مربع روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه،که طول اضلاع قائم آن a وb و طول وتر آن c میباشد؛مطابق شکل زیر می‌سازیم


این قضیه به ما توضیح می‌دهد که جمع مساحتهای دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم الزاویه با مساحت مربع ساخته شده روی وتر برابر است.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم می‌باشد و به ضلعی که روبروی این زاویه در مثلث قرار دارد، وتر می‌گویند.
در شکل اضلاع زاویه قائم با aوb و وتر با c نشان داده شده است.
بیان دیگر قضیه به این صورت است که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع قائم با مجذور وتر برابر است.


اثبات قضیه


 

img/daneshnameh_up/5/56/Pythagorean_proof.png


می توان با توجه به شکل روبرو اثبات هندسی قضیه را به راحتی درک کرد.
در هر دو شکل مربعی به ضلع a+b داریم.در شکل سمت راست چهار نمونه از مثلث قائم الزاویه دور مربع ساخته شده بروی وتر وجود دارد. و هر چهار مثلث دارای مساحت یکسان می باشند. با چند جابجایی در شکل سمت راست به شکل سمت چپ می‌رسیم.در این شکل همان چهار مثلث قبلی وجود دارند ولی مربعی که اضلاع آن به c بود به دو مربع به اضلاع a,b تبدیل شده است، که همان قضیه فیثاغورس را نشان می‌دهد.


 

+ نوشته شده توسط صائم بحرکاظمی در و ساعت |
انتگرال ناسره


انتگرالهایی را که در آن  کران بالا یا کران پایین یا هر دوی آنها ∞ باشد را انتگرال ناسره می‌نامیم.


دید کلی

همان طور که می‌دانیم انتگرال ریمان دارای دو ویژگی بسیار مهم است که عبارتند از:
1- تابع f کراندار است.
2- بازه انتگرال گیری همواره بسته و کراندار است.

اما انواع دیگری از انتگرالها است که دارای دو ویژگی فوق نیستند در این صورت مسلما چنین انتگرالهایی را نمی‌توان با استفاده از خواص انتگرالهای ریمان به جواب رساند. این انتگرالها از جهات بسیاری شبیه
سریهای نامتناهی هستند و از قوانین آنها پیروی می‌کنند.

تاریخچه

گارفری هرلد هاردی (1947-1877. Codfrey Harold Hardy) استاد دانشگاه کمبریج بود و کارهای عمیقی در زمینه آنالیز ریاضی دارد. اصطلاح انتگرال ناسره از آن اوست. محاسبه انتگرال به دوران ارشمیدس (212-287. Archimedes ق م) یعنی سیصد سال قبل از میلاد بر می‌گردد.

حساب دیفرانسیل و انتگرال به نام نیوتن و گاتفرید لایپ نیتس عجین شده است. البته در عهد شکوفایی رنسانس تحول عظیمی در پیشرفت دانش و علوم به وقوع پیوست.

ساختار این انتگرالها

انتگرالهای ناسره به بررسی مقدار انتگرال روی فواصل و و می‌پردازند. انتگرالهای ناسره بر دو نوع اند:
1- انتگرالهای ناسره نوع اول
2- انتگرالهای ناسره نوع دوم

قضیه کوشی

در زیر قضیه بسیار مهمی را می‌آوریم که شرط لازم و کافی برای وجود انتگرال ناسره می‌باشد. این قضیه به افتخار کوشی ریاضیدان معروف به نام قضیه کوشی مشهور است.

  • صورت قضیه کوشی: فرض کنید به ازای هر عدد حقیقی T تابع f بر بازه انتگرال پذیر باشد شرط لازم و کافی برای آنکه موجود باشد آن است که:


ملاحظه می‌کنید که شرط فوق برای انتگرال ناسره با شرط کوشی برای سریها مطابقت دارد و شرط کوشی برای سریها بیان می‌کند:

با توجه به مطابقت فوق در می‌یابیم که انتگرال ناسره f در بازه متناظر حاصل جمع جزئی سری که k از m تا n است، می‌باشد.

ارتباط با سایر مباحث ریاضی

  • آنالیز: انتگرال ناسره ارتباط تنگاتنگی با آنالیز در بحث همگرایی یا واگرایی توابع در فواصل دور دارد، همین طور فواصل و بازه‌های همگرایی را برای توابع مشخصی می‌کند.


  • فیزیک: محاسبه کار و نیروی اعمال شده در زمانهای نامشخص و و توسط انتگرال ناسره انجام می‌شود.

در نظریه نسبیت انیشتین- توابع مختلط- زمین شناسی برای تعیین عمق آب- فیزیک بالاخص رشته نجوم کاربرد و اهمیت فراوانی دارد.

+ نوشته شده توسط صائم بحرکاظمی در و ساعت |
چند وجهی های افلاطونی

مجموعهٔ اجسام منتظم از مشهورترین مجموعهٔ چند وجهی ها در زمان باستان است. تائتتوس ریاضیدان یونانی(۳۶۹-۴۱۵ ق.م ) اولین كسی است كه با آنها ریاضی گونه برخورد كرد.افلاطون(۳۴۷-۴۲۷ ق. م ) دوست تائتتوس ،چند وجهی های منظم را با كیهان شناسی خود در آمیخت.تیمائوس(كتاب افلاطون) در گفت گوی خود روی چهار عنصركه همه چیز از آنها تشكیل شده است،بحث می كند. اجزای زمین به شكل مكعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند. اجزای هوا كه هشت وجهی های منتظم هستند، و اگر روی رئوس مخالف قرار گیرند، به آزادی می چرخند. اجزای آتش ، چهاروجهی های منتظم هستند. اجزای آب بیست وجهی و تقریبا" كروی هستند. و مانند مایعات می توانند بغلتند. اجزای تشكیل دهنده اتر ۱۲ وجهی و بسیارسبك هستند. در قدیم تصور می شد تمام اجرام سماوی از مادهٔ سبكی به نام اتر تشكیل شده اند كه خاصیت چرخندگی دارند.
در دوره رنسانس، زمانیكه نوشته های كلاسیك روم و یونان باستان با پشت سر گذاشتن سال های تاریك اروپادر دسترس قرار گرفت ، خداشناسان ، فلاسفه و دانشمندان كارهای افلاطون و اقلیدس را مورد مطالعه قرار دادند،و این مطالعه ها علاقهٔ آنها به چند وجهی ها بر انگیخت.
یوهانس كپلر آلمانی(۱۶۳۰-۱۵۷۱ )آرزوی بزرگش در زندگی این بود كه بتواند تئوری خورشید مركزی را تكمیل كند. او سادگی و هماهنگی این تئوری را به صورت لذتی باورنكردنی می نگریست. برای كپلر چنان الگوهایی از انتظام هندسی و رابطه های عددی سر رشته ای بود برای شناخت اندیشه خداوند او درصدد بود تا از راه تئوری خورشید مركزی این الگو ها را بیشتر نمایان كند .در نخستین اثر بزرگ خود كوشید تا ترتیب و فاصله مدارهای سیارات را چنان كه كپرنیك محاسبه كرده بود به نحوی از طریق اشكال هندسی توجیه كند كپلر به دنبال دلایلی می گشت تا دریابد چرا فقط شش سیاره قابل رویت وجود دارد و چرا با چنین ترتیبی
قرارگرفته اند اینها مسائل ارزشمندی است كه حتی امروزه پاسخ دادن به آنها بسیار دشوار است. كپلر
فكر می كردكه كلید حل این مسائل در هندسه است.او به جستجویی میان شش سیارهٔ شناخته شده پنج چند وجهی منتظم برآمد. او با استفاده از روش آزمایش خطا راهی برای آرایش چند وجهی ها به دست آورد.كپلر چند وجهی های منتظم را به دستگاه كوپر نیك و سیارات وارد ساخت و از آنها برای توجیه ترتیب و اندازهٔ مدار سیارات استفاده كرد. طرح او مانند شكل پشت جلد است. زحل در كرهٔ خارجی حركت می كند كه شامل یك مكعب است و یك كره در آن قرار دارد كه مشتری روی آن حركت میكند وخود شامل یك چهار وجهی منتظم است كه كرهٔ مریخ در آن قرار دارد.به همین ترتیب كرهٔ مریخ شامل یك دوازده وجهی منتظم است،پس كرهٔ زمین شامل یك بیست وجهی،كرهٔ زهره شامل یك هشت وجهی و در نهایت كرهٔ عطارد است. كپلركشف خود را اتحاد میان عناصر زمینی و آسمان ها میدانست. او چنان از طرح خود به وجد آمده بودكه از دوستش دوك خواست كه مدلی طلایی از چند وجهی های تودرتووكره ها برای نشان دادن طرح او به دنیا و توضیح جهان مرموز ساخته شود.كپلر می نویسد من ابعاد مدارهای سیاره ای را براساس اخترشناسی كوپرنیكی در نظر گرفتم كه بر طبق آن خورشید در مركز عالم ثابت است. و زمین هم به دور محور خود و هم به دور محور خورشید می چرخد، و نشان دادم كه اختلاف های مدار های آنها با پنج شكل منظم فیثاغورثی تطبیق می كند.
ما امروزه می دانیم كه این آرایش كاملا تصادفی بوده است. برای كپلر این الگو هم فاصلهٔ سیارات
و هم شش عدد بودنشان را توضیح می داد و همچنین آن یگانگی را كه كپلر در میان مشاهده های هندسی و علم جستجو می كرد در برداشت.
نتیجه های كار كپلر كه در سال۱۵۹۷ منتشر شد،تخیل و توانایی ریاضی او را نشان می دهد.

 

 

باشگاه الکترونیکی نجوم

+ نوشته شده توسط صائم بحرکاظمی در و ساعت |